Le terme Raisonner évoque deux types de compétences :

• « Raisonner-chercher » : l’élève cherche avec un objectif clairement déterminé.
• « Raisonner-prouver » : l’élève prouve.

Dans ce qui suit, nous partons du postulat de départ selon lequel, pour apprendre, un élève doit prendre conscience des limites de ses procédures/connaissances, afin d’accepter d’en pratiquer/ acquérir de nouvelles.

Pour aider l’élève à progresser dans la compétence raisonner, notre objectif est donc de lui proposer des situations d’apprentissages dans lesquelles il pourra mobiliser ses outils de recherche et de preuve, observer que ces outils ne sont pas pertinents ou efficaces, et progresser alors vers des procédures de recherche et de validation plus expertes.

Raisonner-Chercher

Le raisonnement déductif, s’il est parfois mobilisé lors d’une phase de recherche, n’est pas le seul type de raisonnement utilisé. Par exemple :

La phase de raisonnement pratiquée pour la recherche de la solution d’un problème est un temps fondamental dans l’activité mathématique. Si la recherche de la preuve est capitale dans l’activité mathématique, elle ne doit ni écraser ni occulter cette phase de recherche qui la précède. Elle doit donc être travaillée en classe, avec des situations pertinentes (éventuellement « déconnectées » des contenus du programme), afin d’aider les élèves à s’approprier des habitudes et méthodes de recherche (raisonnement abductif, inductif, par analogie, …), notamment par des mises en commun.

Raisonner-Prouver

Tout d’abord, nous distinguons trois actions : argumenter, prouver et démontrer.

Pour évaluer le travail d’un élève et sa progression en matière de preuve, et pour construire des situations d’apprentissage pertinentes qui vont permettre à l’élève de progresser, nous décrivons la typologie de preuves selon Balacheff (1982).

NB : Nous précisons qu’un élève n’est pas nécessairement attaché à un niveau de preuve. Selon la situation proposée, les prérequis mathématiques nécessaires, les conditions de restitution de la solution, un élève peut produire l’un ou l’autre des 6 types de preuve donnés précédemment.

La preuve ne fait pas naturellement sens chez l’élève, elle ne constitue pas naturellement un enjeu.
Bien souvent, la preuve n’a pas le caractère de la validation d’une conjecture, mais ne correspond qu’au produit formaté que le professeur a demandé. L’élève, s’il le veut bien, montre qu’il sait faire. Mais rien ne garantit qu’il sait pourquoi il doit le faire.

Prouver permet de convaincre (soi même ou un groupe d’individus), ou de comprendre pourquoi tel ou tel phénomène se produit. Pour que l’élève accepte la nécessité de prouver, il faut qu’il y ait un enjeu à le faire. Nous avons observé qu’un élève capable de produire une preuve intellectuelle peut ne pas la soumettre à ses pairs parce qu’il ne juge pas nécessaire de le faire. On parle parfois dans ce cas « d’économie de logique ».

Bilan

Il apparaît alors important de produire des situations d’apprentissage dans lesquelles :

• les élèves voient clairement un enjeu dans la nécessité de prouver.
• les élèves peuvent produire un éventail riche de preuves, et peuvent évoluer.
• les élèves abandonnent leurs outils de validation et prennent possession des règles du débat mathématique.

Il paraît alors raisonnable d’engager un travail sur les notions de contre-exemples, de conjecture, du tiers exclus, proposition, réciproque, négation, … pour accompagner ces situations. Par ailleurs, il faudrait veiller à ce que dans les contenus de cours, les termes définition, théorème, propriété apparaissent avec la mention « démontré » ou « admis ».

Bibliographie

Ministère de l’éducation nationale. (2016). Document d’accompagnement "Raisonner". Accessible ici.

Balacheff N. (1987) Processus de preuves et situations de validation. Educational Studies in Mathematics 18(2) 147‐176.

Arsac, G. et. al. (1992). Initiation au raisonnement déductif au collège  : Une suite de situations permettant l’appropriation des règles du débat mathématique. Presses universitaires de Lyon, IREM.