Les 3 chapeaux

Présentation

À partir de l’état initial

on veut atteindre l’état final

en respectant quelques règles :

• on ne peut déplacer qu’une seule pièce à la fois ;
• une pièce ne peut se déplacer que
  * sur une case vide contiguë,
  * ou en sautant une seule pièce, celle-ci devant être différente de sa catégorie.

Question : est-ce possible ? Si oui, quel est le nombre de coups minimal pour répondre à la consigne ?

Atouts

• Très peu de matériel nécessaire
• La situation peut être reproduite facilement au tableau avec des aimants de 2 couleurs
• Généralisation possible à 4, 5, voire n chapeaux
• La compétence « raisonner » est fortement mobilisée, et sans nécessité de prérequis. On peut ainsi proposer cette activité dès la classe de 6e.
• Pas besoin de formalisme

Solution pour obtenir le nombre minimal de coups :

Condition suffisante : La manipulation permet d’obtenir que le nombre minimal de coups est au plus 15.
Condition nécessaire : Comme la place finale de chacun des personnages est déterminée, on peut dire que chacun des personnages devra se déplacer de 4 cases, ce qui fait 6 × 4 = 24 déplacements, sans compter les enjambements. Si on s’occupe des « sans chapeau », on peut dire que chacun d’eux va enjamber 3 personnages et donc « gagner » 3 cases : 3 × 3 = 9. On a donc 24-9=15 coups.

Un autre exemple : « la chasse à la bête »

Un plateau de jeu représente un champ. Ce champ est envahi par des bêtes ! Le but est de poser des pièges à bêtes dans le champ pour le protéger de toute intrusion... mais les pièges coûtent cher ! Il faut donc en poser le moins possible.

Le plateau de jeu est découpé en 25 cases (5x5). Un piège est un carré qui occupe exactement une case. Une bête est un polymino : domino, trimino droit ou trimino coudé, qui occupe 2 ou 3 cases adjacentes. Les bêtes, comme les pièges, ne peuvent pas être posés autrement que sur des cases entières.

Question : de combien de pièges avons-nous besoin au minimum pour éviter toute intrusion de bêtes sur le champ ?

Ressources :

• L’ensemble des fiches disponible sur : https://www.math.univ-paris-diderot.fr/diffusion/fiches
• Les explications plus complètes sont décrites sur le site : https://irem.univ-grenoble-alpes.fr/revues/grand-n/consultation/numero-100-grand-n/1-la-chasse-a-la-bete-une-situation-recherche-pour-la-classe—467813.kjsp