Auteur : Sophie Chapuis (professeur de mathématiques au collège Émile Cizain, Montluel)

Présentation

Dans le cadre de la géométrie dans le plan, deux grandeurs peuvent être associées à une figure : aire et périmètre. Les élèves ont bien souvent des difficultés à les distinguer d’autant plus si on limite le travail sur ces grandeurs à un apprentissage de formules algébriques.

Cet article va présenter un outil possible pour aider les élèves à bien distinguer périmètre et aire.
Cet outil est Curvica, présenté page 162 du guide « La résolution de problèmes mathématiques au collège ». Curvica est un puzzle pédagogique de 24 pièces inventé par Jean Fromentain en 1982, publié par l’APMEP (https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Defis_curvica.pdf) et également développé par l’IREM de la Réunion (https://hal.univ-reunion.fr/hal-01502901/document)

Ce puzzle comprend toutes les pièces que l’on peut obtenir à partir d’un carré, en « creusant », en « bombant » ou en laissant droit ses côtés.

Par exemple, voici l’une des pièces et la façon dont elle est construite :

Plusieurs séquences sont possibles selon si on utilise ce puzzle en début ou fin de cycle 3 et en fonction des difficultés des élèves. La manipulation des pièces reste cependant le support des différentes séances.

Voici un scénario testé en classe de 6e

1ère séance

La première séance a eu pour but de familiariser les élèves avec les pièces du puzzle tout en réactivant les notions d’aire et de périmètre.
Après la découverte des différentes pièces par les élèves, deux de celles-ci ont été choisies : J et K.

Puis il a été demandé aux élèves laquelle avait le plus grand périmètre.

Un débat mathématique au sein de la classe a permis de :

• découvrir plus en détail deux des pièces du puzzle (les pièces étant à disposition) ;
• réactiver la notion de périmètre ;
• de revenir sur la notion du « plus court chemin entre deux points ».

La mise en commun du travail sur la manipulation des pièces a abouti à la trace écrite suivante (qui restera affichée durant toute la séance au tableau) :

Dans un deuxième temps, un travail de groupe a été proposé aux élèves (7 groupes de 4 élèves).
Chaque groupe disposait des 24 pièces plastifiées et il leur a été demandé de :

• regrouper les pièces qui ont le même périmètre ;
• classer ensuite ces groupes, du plus petit périmètre au plus grand.

Ce travail de tri n’a pas été aisé pour les élèves car ils devaient comparer des périmètres sans avoir recours à la mesure. Plusieurs stratégies de tri plus ou moins efficaces se sont mises en place dans les différents groupes : comptage du nombre de côtés droits, regroupement des pièces ayant le même nombre de bords « creux » et/ou « bombés ». Certains ont superposé leurs pièces, une confusion entre aire et périmètre était évidente pour ceux-ci. Mais les échanges constructifs entre élèves et la manipulation les ont aidés à revenir sur leur erreur.

Une fois le classement fait et validé par le professeur, il a été demandé à chacun des groupes de recommencer le travail mais cette fois-ci sur l’aire :

• Regrouper les pièces qui ont la même aire
• Classer ensuite ces groupes, de la plus petite aire à la plus grande.

En circulant, il a été constaté que le passage de périmètre à aire était plus ou moins difficile pour les groupes. Rapidement et dans plusieurs groupes, des élèves ont proposé de superposer les pièces pour comparer leur aire. Dans un autre, les élèves ont écrit sur les pièces pour bien délimiter les zones « en plus » ou « en moins » de celles du carré de base.

Cependant certains sont restés « bloqués » sur les bords comme pour le premier travail.
Pour deux groupes, il a donc été nécessaire de redéfinir la notion d’aire. Le recours à la comparaison de deux pièces a permis d’aider les élèves. Par exemple, comme les pièces N et J , montrées ci-dessous :

(source : https://publimath.univ-irem.fr/numerisation/APL/APL03018/APL03018.pdf)

Pour les groupes les plus rapides, des défis basés sur la manipulation des pièces du puzzle leurs sont proposés (cf document joint).
A noter que certains groupes n’ont pas pu aller au bout de ce deuxième classement. Mais tous ont cherché et se sont posé des questions.

2e séance

Au début de la deuxième séance, les 24 pièces sont affichées au tableau (et toujours disponibles pour les élèves).

Un bilan de tout ce que les élèves ont pu constater, remarquer lors de la séance précédente, a été fait.
Cela a servi à faire verbaliser aux élèves les procédures qui ont été utilisées dans les groupes et les résultats trouvés lors de la séance précédente.

En prenant appui sur les pièces du puzzle, nous sommes arrivés à la trace écrite suivante :

Ce bilan a alors été recopié dans le cahier de leçon des élèves avec un diagramme qui regroupait ces deux classements.

La suite de la séance a été consacrée à des exercices ayant pour but de :

• comprendre le diagramme collé dans le cahier de leçons ;
• distinguer aire et périmètre ;
• comparer des aires et des périmètres sans avoir recours à la mesure.

Certains élèves ont (naturellement) encore des difficultés pour distinguer aire et périmètre. Pour eux, le recours à la manipulation des pièces est un moyen efficace pour y remédier.

3e séance

Une troisième séance a été consacrée à des exercices plus « classiques » où ont été réintroduits les « carreaux » pour glisser progressivement vers les unités de longueur et d’aire. Les calculs de périmètres et d’aires arriveront bien plus tard dans l’année scolaire.

Ce travail sur les grandeurs « aire » et « périmètre » amorcé par Curvica sera réactivé lors de questions flash (cf document joint) durant la suite de l’année et au cours de la résolution de problèmes concrets.

Vous trouverez en pièces jointes (en formats .docx et .pdf) les documents suivants :

• défis avec les pièces (fin de la 1ère séance)
• les exercices des deuxième et troisième séances ;
• des exemples de questions flash qui seront proposées dans la suite de l’année.