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Formules d’addition et de soustraction en trigonométrie
trois figures et quatre égalités
Article mis en ligne le 5 janvier 2020
dernière modification le 5 octobre 2021

par N. Buyle-Bodin
  • Objectifs : Démontrer les formules d’addition et de soustraction en trigonométrie à l’aide de la géométrie plane.
  • Niveau : 1ere - Tale.
  • Auteur : Arnaud Gazagnes

Les figures ci-dessous sont extraites du livre de Roger B. NELSEN, Preuves sans mots, Exercices de mathématiques visuelles, paru aux Éditions Hermann en 2013.

Dans son livre, l’auteur aide son lecteur à comprendre par l’image la validité d’un énoncé mathématique, et de fournir des indications propres à stimuler la pensée mathématique.

1. Premiers résultats

La première figure illustre les propriétés d’addition :

\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta et \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

Justifions les deux propriétés énoncées grâce à la figure pour deux angles dont la mesure est comprise entre 0 et \frac{\pi}{2} radians, tout comme celle de leur somme.

On considère un rectangle ABCD. Sur le segment [BC], on place un point E :

On note \alpha la mesure en radians de l’angle \widehat {BAE}.
Sur le segment [CD], on place le point F tel que le triangle AEF soit rectangle en E.

On note \beta la mesure en radians de l’angle \widehat {EAF}.
(Par construction, une mesure de l’angle \widehat {CEF} est \alpha)

Le point G sur le segment [AB] est tel que FCBG soit un rectangle.
La mesure de l’angle \widehat {FAG} est ainsi égale à \alpha + \beta.

On pose AF = 1.

  • À l’aide du triangle AEF, on obtient :
    AE = cos \beta et EF = sin \beta
  • À l’aide du triangle ABE, on obtient :
    AB = AE cos \alpha = cos \alpha cos \beta et BE = AE sin \alpha = sin \alpha cos \beta
  • À l’aide du triangle CEF, on obtient :
    CE = EF cos \alpha = cos \alpha sin \beta et CF = EF sin \alpha = sin \alpha sin \beta
  • À l’aide du triangle AFG, on obtient :
    AG = cos(\alpha + \beta) et FG = sin(\alpha + \beta)

Or AG = AB – BG (car A, G et B sont alignés dans cet ordre).
De plus, BG = CF.
Ainsi AG = AB – CF.

Avec les résultats précédents, on obtient finalement :

\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

De plus, FG = BC et BC = BE + EC (car B, E et C sont alignés dans cet ordre).
Donc FG = BE + EC.

Avec les résultats précédents, on obtient finalement :

\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

2. Deuxièmes résultats

Pour les formules de différences, il est tentant d’exprimer cos($\alpha$ – $\beta$) et sin($\alpha$ – $\beta$) à l’aide des résultats précédents et d’utiliser la parité des fonctions cos et sin. Mais ce n’est pas dans l’esprit de l’auteur. Celui-ci propose une autre figure pour illustrer les deux formules de différence :

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$ et $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

Le lecteur saura justifier, comme plus haut, ces deux propriétés !

3. Troisièmes résultats

L’auteur reprend une figure de Sidney H. Kung pour retrouver la formule donnant cos(\alpha + \beta), en passant par les aires de triangles et en utilisant la relation \sin \left( \frac {\pi}{2} -\theta\right) = \cos \theta.

 \frac {1}{2} a b \sin \left[ \frac {\pi}{2} -(\alpha + \beta) \right] = \frac {1}{2} b \cos \alpha \cos\beta - \frac {1}{2} a \sin \beta \sin \alpha

Donc

\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta