Objectif Etudier de façon concrète, le nombre de parties à p éléments d’un ensemble à n éléments.
Niveau Première L option et terminale.
Logiciels Tableur EXCEL ou OPEN OFFICE
Intérêt de l’utilisation de l’ordinateur Le tableur permet d’aborder des cas où n est assez grand ( 0 ≤ n ≤ 9), d’afficher toutes les parties d’un ensemble, d’aider à faire le lien avec le triangle de Pascal. Ce peut être aussi l’occasion pour les élèves de modéliser une situation de dénombrement avec un arbre et d’utiliser la numération en binaire (c’est une option non obligatoire, on peut aussi se servir d’une feuille de calcul prête à l’emploi).
Durée prévue En première, prévoir 2 séances d’une heure en version complète, une séance d’une heure en version simplifiée.
Auteur Marc Grelier, lycée de Saint Just – Lyon
Déroulement de la séquence
E est un ensemble ayant n éléments représentés par des lettres.
1- Dans un cas simple (n = 3), on fait construire à l’aide d’un arbre toutes les parties de E.
2- Puis on reproduit l’arbre avec un tableur.
3- Partie facultative. En utilisant la numération binaire, on construit un modèle permettant de faire varier la valeur de n.
4- Une feuille de calcul est mise à le disposition des élèves afin d’étudier, pour différentes valeurs de n, le nombre de parties à p éléments pour : 0 ≤ p ≤ n ≤ 9. 5- On compare les résultats avec les nombres du triangle de Pascal puis on peut faire retrouver les propriétés des combinaisons.
Remarque Selon le temps dont on dispose et le niveau du groupe, on peut se limiter à utiliser la feuille de calcul Parties d’un ensemble, card(E) = n, et faire manipuler les élèves en faisant varier le nombre n d’éléments. Il est cependant intéressant de faire construire dans un cas simple (n = 3 ou 4) la modélisation de la situation. L’étude théorique (démonstration) pourra être faite après la découverte des propriétés.
Feuille Triangle de Pascal
Feuille de calcul automatisée donnant toutes les parties dans le cas n = 4.
Feuille de calcul card(E)=n . Le dénombrement peut être fait en triant le tableau selon la colonne Nombre d’éléments.