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2020, année mathémagique - Une solution

Les entiers naturels p et q (non nul) étant donnés, il est rapide de vérifier que, si la roue R est magique, alors la figure R=p+qR (où chaque entier N de R est associé à l’entier N=p+qN de R) est aussi magique.

Il « suffit » donc de trouver deux entiers p et q (non nuls) qui répondent au problème.

La nature affine de l’expression p+qN fait penser à une suite arithmétique !
Ainsi, une piste est de trouver une suite arithmétique (Un) telle que Ua+Ub+Uc=2020, où les trois indices a, b et c sont justement les trois nombres de chaque alignement. Autrement dit, ils vérifient l’égalité a+b+c=19.

En définissant de façon usuelle le terme général Un par Un=U0+rn (ce qui explique au passage le choix de commencer la liste des entiers à 0 et non pas à 1), il vient :

Ua+Ub+Uc=U0+ra+U0+rb+U0+rc=3U0+(a+b+c)r=3U0+19r

Or Ua+Ub+Uc=2020.
Donc 3U0+19r=2020, ce qui équivaut à U0=(202019r)÷3.

Puisque U0 est entier et positif, une méthode consiste à tester, pour chacun des entiers r allant de 1 au quotient entier de 2020 par 19 augmenté de 1, si U0 est entier et d’afficher alors le couple (U0,r).
Les deux entiers p et q cherchés seront alors p=U0 et q=r.

On va écrire en langage Python un programme qui permette d’obtenir des couples (U0,r) solutions que la variable t permet de dénombrer.
Rappel : Le quotient entier est obtenu grâce à la contre-oblique // :

L’exécution de ce programme donne trente-six couples solutions (ce qui, au passage, permet d’offrir à chacun des élèves d’une classe une roue différente !) :

Prenons, par exemple, le vingt-septième couple proposé, (173, 79).
Chaque entier N de la première roue va donner l’entier N=173+79N de la seconde roue. Ainsi, à 4 est associé 173+79×4=489 et à 9 est associé 173+79×9=884.

On complète le programme précédent par une fonction roue, de paramètres p et q, qui renvoie les dix-neuf valeurs demandées :

Évidemment, l’exécution de roue(0, 1) donne la roue initiale !

L’exécution de roue(173, 79) donne les dix-neuf valeurs qui construisent la roue suivante :

De même, l’exécution de roue(420, 40) donne celles qui construisent la roue suivante ::