Les plans colorés

On dira qu'un plan est colorié lorsqu'on a attribué à chaque point de ce plan une couleur.

Une définition

Soit $P$ un plan colorié. On dira qu'une couleur $c$ est complète (relativement à $P$), si pour chaque nombre réel $d > 0$, il existe au moins un couple de points $(A, B)$, tous deux de couleur $c$, tel que la distance de $A$ à $B$ est égale à $d$.

Exemple

Dans l’image ci-dessous la couleur verte foncée n’est pas complète.

Exemples de plans bicolores

On colorie un plan avec du rouge et du vert (chaque point du plan a donc soit la couleur rouge, soit la couleur verte) :

Un autre plan bicolore :

Énoncé

Est-il vrai que dans le cas d'un plan bicolore, au moins l'une des deux couleurs est complète relativement à ce plan ?