De la nature de $\sqrt{2}$

  • Niveau ciblé: classe de seconde.
  • Eléments du programme: les ensembles de nombres, démonstration de l'irrationnalité de $\sqrt{2}$, implication et contre-exemple, algorithme élémentaire, programme python.
  • Auteur: jean-manuel mény Groupe UPO.

Exercice 1

Soit $x = 1{,}4$.

  • Déterminer un entier $n$ non nul tel que $n\times x$ soit entier.
  • Donner d'autres entiers vérifiant la même propriété que $n$.
réponse $n = 10$ convient. $n = 5$ également.
  • Même question avec $x = 1{,}3$.
réponse $n = 10$ convient. $n = 100$ également...

Exercice 2

Même question avec $x = \frac{10}{14}$.

réponse $n = 7$ convient. $n = 14$ également...

Exercice 3

Soit $x$ un réel. Parmi les implications suivantes, lesquelles sont vraies?

  • S'il existe un entier $n$ non nul tel que $nx$ est entier alors $x\in\mathbb{Z}$.
  • Si $x\in\mathbb{Z}$ alors il existe un entier $n$ non nul tel que $nx$ est entier.
  • S'il existe un entier $n$ non nul tel que $nx$ est entier alors $x\in\mathbb{D}$.
  • Si $x\in\mathbb{D}$ alors il existe un entier $n$ non nul tel que $nx$ est entier.
  • S'il existe un entier $n$ non nul tel que $nx$ est entier alors $x\in\mathbb{Q}$.
  • Si $x\in\mathbb{Q}$ alors il existe un entier $n$ non nul tel que $nx$ est entier.
  • Si $x\in\mathbb{R}$ alors il existe un entier $n$ non nul tel que $nx$ est entier.
Implication 1 "S'il existe un entier $n$ non nul tel que $nx$ est entier alors $x\in\mathbb{Z}$." : contre-exemple avec les exercices précédents.
Implication 2 "Si $x\in\mathbb{Z}$ alors il existe un entier $n$ non nul tel que $nx$ est entier." : vrai, $n=1$ convient.
Implication 3 "S'il existe un entier $n$ non nul tel que $nx$ est entier alors $x\in\mathbb{D}$." : contre-exemple avec $x=\frac{1}{3}$.
Implication 4 "Si $x\in\mathbb{D}$ alors il existe un entier $n$ non nul tel que $nx$ est entier." : vrai. $x$ s'écrit sous la forme $\frac{p}{10^k}$ avec $p$ entier et $k\in\mathbb{N}$. L'entier $n = 10^k$ convient.
Implication 5 "S'il existe un entier $n$ non nul tel que $nx$ est entier alors $x\in\mathbb{Q}$." : vrai. $nx = m$ avec $m$ entier, donc $x= \frac{m}{n}$ est rationnel.
Implication 6 "Si $x\in\mathbb{Q}$ alors il existe un entier $n$ non nul tel que $nx$ est entier." : vrai. $x$ s'écrit comme rapport de deux entiers $x=\frac{a}{b}$. L'entier $n=b$ convient.
Implication 7 "Si $x\in\mathbb{R}$ alors il existe un entier $n$ non nul tel que $nx$ est entier." : contre-exemple avec $\pi$ (on part ici du principe que l'on a déjà noté dans le cours l'irrationnalité de $\pi$...)

Exercice 4

On considère l'algorithme suivant, dans lequel x est un réel strictement positif:

n ← 1
Tant que nx n'est pas entier:
        n  ← n+1
  1. Quelle est la valeur finale de n avec x = 1,3?
  2. Quelle est la valeur finale de n avec x = 1,4?
  3. Décrire par une phrase une propriété caractéristique de l'entier n déterminé par cet algorithme.
  4. L'algorithme terminera-t-il quelque soit l'entrée x?
Question 1 $n=10$
Question 2 $n=5$
Question 3 L'algorithme calcule le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $nx$ est entier.
Question 4 Non. Avec $x$ irrationnel, l'algorithme ne terminera pas.

Exercice 5

Traduire l'algorithme de la question précédente par un programme python.

Programme lien vers le programme, plus bas dans la page

Exercice 6

Le programme python de la question précédente terminera-t-il pour toute entrée $x$?

Termine? L'objectif est ici de souligner la différence entre réel et flottant. Et entre algorithme (où l'on suppose travailler sur des entités mathématiques) et programme (où l'on travaille sur des représentations en machine de ces entités mathématiques). On teste par exemple $x= \pi$ (cf plus bas dans la page), on obtient un entier.

Exercice 7

Testez le programme avec $x = \sqrt{2}$. Quel est le résultat?

Test lien vers le test, plus bas dans la page

Exercice 8

Soit $n$ l'entier renvoyé par le programme python avec $x = \sqrt{2}$.
On sait que le programme peut avoir renvoyé une valeur $n$ telle que $n\sqrt{2}$ ne soit pas en fait un entier (cf ce qu'il s'est passé avec $\pi$). Mais on va supposer ici qu'on a bien $n\sqrt{2}$ entier.
Soit $p = n( \sqrt{2} - 1)$.

  1. Démontrer que $p$ est un entier naturel non nul.
  2. Justifier que $p < n$.
  3. Démontrer que $p\sqrt{2}$ est entier.
  4. En déduire que la machine n'a pas renvoyé l'attendu dans la question précédente.
  5. Expliquer pourquoi.
Question 1 $n\sqrt{2} \in\mathbb{N}$ donc $p =n\sqrt{2} -n$ est entier comme différence de deux entiers. Par ailleurs, $n$ est strictement positif et $\sqrt{2}-1$ aussi donc $n$ est strictement positif comme produit de deux strictement positifs.
Question 2 Comme $\sqrt{2}-1 < 1$ et $n >0$, on a $n\times (\sqrt{2} - 1) < n\times 1$, soit $p < n$.
Question 3 $p\sqrt{2} = n( \sqrt{2} - 1)\sqrt{2} = 2n - n\sqrt{2}.$ $p$ est entier car différence de deux entiers.
Question 4 Le programme devait renvoyer le premier entier $m$ tel que $m\sqrt{2}$ soit entier. Ce programme a renvoyé un entier $n$ et nous avons explicité un entier $p$ tel que $p < n$ et $p\sqrt{2}$ entier. Le programme aurait dû renvoyer $p$ ou un entier plus petit que $p$ !
Question 5 Comme notre programme est correct, on en déduit que le nombre utilisé par python n'est pas $\sqrt{2}$ mais une approximation de $\sqrt{2}$.

Exercice 9

L'objectif est maintenant de constater que le raisonnement fait dans la question précédente pour montrer que le programme python ne renvoyait pas l'attendu est en fait un raisonnement qui prouve que $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel.

A vous!

Le raisonnement On raisonne par l'absurde. Supposons que $\sqrt{2}$ soit rationnel. Il existe donc au moins un entier naturel non nul $n$ tel que $n\sqrt{2}$ est entier. On prend le premier (le plus petit) de ces entiers. Le raisonnement précédent montre alors que $p = n(\sqrt{2}-1)$ est aussi un entier naturel non nul vérifiant $p\sqrt{2}$ entier. Mais $p < n$ contredit le fait qu'on a choisi le plus petit! Conclusion: il n'existe pas d'entier $n$ tel que $n\sqrt{2}$ soit entier: $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Exercice 10

Avez-vous saisi?

Si oui, vous n'aurez aucun mal à adapter la preuve pour montrer que $\sqrt{11}$ n'est pas rationnel.

Le raisonnement On raisonne par l'absurde. Supposons que $\sqrt{11}$ soit rationnel. Il existe donc au moins un entier naturel non nul $n$ tel que $n\sqrt{11}$ est entier. On prend le premier (le plus petit) de ces entiers. Soit $p = n(\sqrt{11}-3)$. On vérifie que $0 < p < n$, que $p = n\sqrt{11}-3n$ est entier et que $p\sqrt{11} = 11n-3n\sqrt{11}$ est entier. $p < n$ contredit donc le caractère minimal de $n$. Conclusion: il n'existe pas d'entier $n$ tel que $n\sqrt{11}$ soit entier: $\sqrt{11}$ est irrationnel.

Programme et tests

Programme python

In [1]:
from math import floor
def plus_petit_n(x):
    """
    x est un nombre réel.
    La fonction renvoie le plus petit entier n tel que nx est entier.
    """
    n = 1
    while n*x != floor(n*x):
        n += 1
    return n

Test avec $\pi$

In [2]:
from math import pi
plus_petit_n(pi)
Out[2]:
78256779

Test avec $\sqrt{2}$

In [3]:
from math import sqrt
plus_petit_n(sqrt(2))
Out[3]:
93222358

Remarque

Attention, le temps de calcul sur une calculatrice exécutant du code python est de l'ordre de trois bons quarts d'heure. Les tests avec $\pi$ et $\sqrt{2}$ sont à exécuter de préférence sur ordinateur.

In [ ]: